Numeri fracti по-русски
Но несть той арифметик, ижо в целых ответчик,
А в долях сий ничтоже, отвещати возможе.
Емже о ты радеяй, буди в частях умеяй.
(Л. Магницкий)
А в долях сий ничтоже, отвещати возможе.
Емже о ты радеяй, буди в частях умеяй.
(Л. Магницкий)
Содержание работы:
- Система древнерусских дробейКак исторически выстраивалась система древнерусских дробей? Какие дроби являлись основными в этой системе? Когда и в связи с чем произошел переход к цифирным дробям?
- Речевые выражения дробейКаковы особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике? Приведите свои примеры именования современных дробей в соответствии с древнерусскими правилами.
- Сошная арифметика и "Дощаный счет"Каковы исторические и экономические причины возникновения сошной арифметики – древнерусского учения о дробях. Каковы ее особенности? Какие инструменты и приемы сошной арифметики использовались в XVI-XVII вв.?
- Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется
- Оценка практической значимости рукописи XVII в. «Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется».
- Анализ содержания рукописи и перевод каждого из 21-го правила на язык современной математики.
1
Система древнерусских дробей
Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». Доходит он до седьмых дробных часов, которых в дне или ночи 937 500, причем говорит, что от седьмых дробных уже ничего не получается.- В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.
- В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 - половина, полтина
1/3 – треть
1/4 – четь
1/6 – полтреть
1/8 - полчеть
1/12 –полполтреть
1/16 - полполчеть
1/24 – полполполтреть (малая треть)
1/32 – полполполчеть (малая четь)
1/5 – пятина
1/7 - седьмина
1/10 – десятина. 
Как видно дроби записывались словами, а не с помощью цифр, которые тогда представляли собой буквы кириллического алфавита.Старославянские часы. Спа́со-Евфи́миев монастырь г. Суздаль- Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая –
получетверть, которая называлась осьмина. Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли, но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др. Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину. - О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
В 1703г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика». Автор Магницкий Леонтий Филлипович. Во 2-ой части этой книги “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.
Оно у Магницкого носит почти современный характер. Магницкий подробнее, чем современные учебники, останавливается на вычислении долей. Дроби Магницкий рассматривает как именованные числа (не просто 1/2, а 1/2 рубля, пуда и т.п.), а действия с дробями изучает в процессе решения задач.- Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: едина шестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.
Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби. 
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I. В указе Петра Великого в 1714 году предписывалось: всем губерниям и провинциям империи открыть на своих территориях цифирные школы. Тогдашние ученики первые в своем отечестве освоили международный язык математики – арабские цифры. Это позволило упростить, доставшуюся от древнегреческих ученых, систему буквенного подсчета. Знание арабской цифири по своему значению ничуть не уступало владению любым иностранным языком.
2
Речевые выражения дробей
- Часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
- Следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2целых1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3целых1/2 = полчетверты; 4целых1/2 = полпяты; 5целых1/2 = полшесты и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2целых1/2) и пол-трети (1/6); полчетверты (3целых1/2) и пол-четверти (1/8). - Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4целых3/4 = 5 без четверти; 6целых7/8 = 7 без пол-четверти; 9целых11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2целых1/3), три с четвертью (Зцелых1/4) и т. д. 
Можно попробовать именовать современную дробь в соответствии с древнерусскими правилами.
3
Сошная арифметика и "Дощаный счёт"
Во второй половине XVI в. происходит введение Иваном IV единой окладной поземельной единицы - так называемой "большой сохи". Это нововведение должно было способствовать унификации налоговой системы. Новшество имело математический аспект, состоявший в вычислении коэффициентов, по которым с учетом количества и качества земли, а также сословного положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”.Причины введения «большой сохи»
Иван Васильевич Грозный вступил на престол, когда ему шел семнадцатый год. Перед юным царем стояло множество проблем. Одной из важных задач было обеспечение постоянных финансовых поступлений в Государственную казну. Увеличение налогов было необходимо для решения важных задач: повышение боеспособности армии, ведение стратегически важных военных компаний по расширению территории государства, обеспечение увеличивавшегося бюрократического аппарата, сооружение оборонных укреплений, обустройство городов и строительство дорог.- Значительная часть времени правления Ивана Грозного пришлась на Ливонскую войну (1558-1583). Борьба с хорошо обученными и прекрасно вооруженными европейскими армиями требовала больших ресурсов. Причины проведения налоговой реформы: создание более эффективного администрирования налогообложения, повышение собираемости налогов, увеличение поступлений в Государственную казну, унификация налоговой системы на всей территории страны.
Специально для нужд сошной арифметики был приспособлен дощаный счет. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Дощаный счёт представлял собой два складывающихся ящика. Каждый ящик разгораживался надвое (позже только внизу); второй ящик был необходим ввиду особенностей денежного счёта. Внутри ящика на натянутые шнуры или проволоку нанизывались кости.- В соответствии с десятичной системой счисления ряды для целых чисел имели по 9 или 10 костей; операции с дробями производились на неполных рядах: ряд из трёх костей составлял три трети, ряд из четырёх костей — четыре четверти (чети). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней — половину от половины одной трети, и т. д.).
- Сложение двух одинаковых «сошных» дробей дает дробь ближайшего высшего разряда, например, 1/12+1/12=1/6 и т.п. На счетах сложение двух таких дробей соответствует переход к ближайшей вышестоящей костяшке. Дроби суммировались без приведения к общему знаменателю, например «четь да полтрети, да полполчети» (1/4 + 1/6 + 1/16). Иногда операции с дробями производились как с целыми при помощи приравнивания целого (сохи) к определённой сумме денег. Например, при равенстве соха = 48 денежным единицам приведённая выше дробь составит 12 + 8 + 3 = 23 денежные единицы.
- В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п. Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощатый счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробей.
- «Дощаный счет» первоначально имел узко ограниченное применение - для подсчета величины налога. Основная масса вычислительных потребностей удовлетворялась обычным способом - "счета костьми". Но сошное письмо во второй половине XVII в. вышло из употребления, в отличии от дощаного счета. Напротив, в XVII в. счеты прочно вошли в житейский обиход. В исторической литературе имеются свидетельства об их широком распространении на Руси: “Все русские, вплоть до беднейших крестьян, очень опытны в счетном искусстве. Они пользуются для этого счетной доской <...>, она настолько общеупотребительна, что ее можно встретить даже соединенной со всякого рода карманными зеркальцами, досками для письма или календарями”.
4
«Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется»
«Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладется» представляет собой таблицу сумм, получаемых от сложения различных частей сохи.
Эта рукопись XVII в. представляла собой свод 21 правила. В каждом правиле расписывалось получение какой-то части сохи, где соха принималась за единицу.
В те времена не существовало правил работы с дробями, которые упрощают нам работу с такими числами сейчас. Например, дроби еще не приводили к общему знаменателю. Поэтому эта рукопись упрощала работу с дробями и, как следствие, упрощала землемерие (для чего, собственно, эти правила и были написаны).
Внимательно посмотрев на эти правила, можно увидеть ряд ошибок. Скорее всего эти ошибки были допущены из-за неоднозначного понятия дробей.
Можно спутать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Например, дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Каждое правило рассмотрим более подробно. И постараемся исправить ошибки, допущенные в те времена.
Доказательство правил и исправление ошибок
